ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СУЩЕСТВОВАНИЯ БОГА

Онтологический аргумент, обосновывающий бытие Бога, впервые видимо прозвучал в XII веке у Ансельма Кентрберийского, который сказал по существу следующее: «Бог - это то, больше чего помыслить нельзя. Бог существует в понимании. Тогда можно вообразить его больше, а именно существующим и в реальности. Значит, он должен существовать и в реальности.»

Это рассуждение критиковали многие и весьма компетентно, а некоторые - развивали. Имена части участников дискуссии говорят сами за себя: Фома Аквинский (объявил доказательство неверным, чем предопределил отношение к нему теологов, в среде которых его авторитет был непререкаем), Лейбниц (полагал, что его можно сделать состоятельным, несколько дополнив), Кант (считал, что опроверг аргументацию Ансельма полностью), Декарт, наконец Гёдель, который оставил свой вариант доказательства, развивающего аргументацию Св. Ансельма и Лейбница. О Гёделевском доказательстве речь и пойдет.

В оригинале это примерно 20 строчек в формате матлогики. История текста интересна сама по себе и о ней стоило бы сказать отдельно, но пока, «по просьбе группы товарищей», я приведу просто перевод Гёделевских формул на «человеческий» язык. Почти подстрочник. Комментарии [помещены в квадратные скобки и выделены курсивом]. Известно по крайней мере 2 (наверное больше) варианта записи доказательства Гёделя, они несколько различаются формулировками аксиом и нотацией. Я взял то, которое из Оксфордского издания его работ.Гёделем история, разумеется, не заканчивается. Его доказательство (оно датировано 1970-м годом) тоже нашло своих критиков и интерпретаторов. Впрочем, и это совершенно не увидительно, если принять во внимание личность автора, никто, похоже, не сомневается что оно верно в рамках принятой формальной модели. Вопрос только один: как эту модель интерпретировать. Иными словами, все верят, что что-то Гёдель доказал, но вот что именно — не так чтобы ясно.

Итак,

Онтологическое доказательство Гёделя





Перевод:

Пусть φ — позитивно [позитивное качество. Ниже фигурируют объекты и их качества, свойства. Например: есть объект m, скажем, «мой веселый, звонкий мяч». Он может обладать качеством Z, скажем, «быть зеленым». Если мяч в самом деле зеленый, то Z(m) – истинно, пишем просто Z(m). На самом деле, как мы помним из классического труда Маршака времен детсадовского детства, он «желтый, красный, голубой», так что ~Z(m), то есть верно «не Z(m)»]

1. Аксиома 1: Если φ и ψ оба позитивны, то (φ и ψ) также позитивно, и так для любого количества
2. Аксиома 2: Позитивно или φ или (не φ); “или” в данном утверждении эксклюзивное3. Определение 1: «x – божество» [понимать как: обладает качеством божественности], означает, что x обладает всеми позитивными качествами. [Это определение. Отсюда и из (2) следует, что объект, обладающий качеством божественности обладает только позитивными качествами]4. Определение 2: Назовем φ сущностью х, если для любого ψ верно следующее: если х обладает ψ, то из этого необходимо следует, что для каждого y если y обладает φ, то он обладает и ψ. Сноска: любые 2 сущности х с необходимостью эквивалентны. [Иными словами, если нечто обладает сущностью х, то оно обладает и всеми его качествами. Если 2 объекта совпадают по сущности, то они совпадают по всем качествам.]5. Следующая строка — обозначение для «необходимо следует». «q необходимо следует из p» означает что утверждение “p влечет за собой q” является необходимой истиной [Тут мы выходим на просторы модальной логики. Необходимой истиной будем называть истину, отрицание которой приводит к противоречию]6. Аксиома 3: Если φ позитивно, то φ позитивно с необходимостью, и если φ не позитивно, то это также верно с необходимостью, поскольку это следует из природы данного свойства. [Тоже очевидно, даже несмотря на то, что определение позитивности, которое Гёдель приводит в другом месте, довольно расплывчато. Тем не менее, эта аксиома совершенно естественна для любой позитивности, как ее ни понимай]7. Теорема: Если х обладает божественностью, то это качество — его сущность. [Очевидно, но если угодно, формально проверяется подстановкой в (4) и (5)]8. Определение: х «необходимо существует» если для каждого φ верно следующее: если φ является сущностью х, то необходимой истиной явлется тот факт, что существует х такое, что х обладает φ. [Иными словами, если всегда существует объект обладающий сущностью x. Это наверное проще всего представить себе в такой семантике: сказать, что «объект x необходимо существует» означает сказать, что «в каждом возможном мире существует объект обладающий сущностью x»]9. Аксиома 4: «Необходимое существование» позитивно. [Примечание — такое же как к 7, то есть достаточно очевидно само по себе. Вспоминаем, что «божественность» предполагает обладание всеми позитивными свойствами и только ими]10. - 14. (следующие 4 строки) — основная теорема. Понимать эти строки надо так:

Существование объекта, обладающего качеством божественности, возможно [поскольку каждое позитивное свойство актуализировано в каком-то из возможных миров].
Такой объект обладает качеством необходимого существования. [Следует из (9), то есть из аксиомы 4, поскольку необходимое существование позитивно во всех возможных мирах].
Значит, такой объект должен существовать во всех возможных мирах [по определению необходимого существования. Помним, что «божественность» является сущностью обладающего ею объекта].
[Иными словами,] Если х обладает качеством божественности, то существование такого объекта необходимо.

[И еще раз:
Поскольку необходимое существование позитивно — оно следует из божественности. Более того, божественность является сущностью Бога, поскольку Бог не может обладать непозитивными свойствами (поскольку каждое из последних является отрицанием позитивного свойства). Поскольку каждый объект, обладающий качеством божественности, необходимо существует, то божественный объект в одном мире является таковым во всех мирах, по определению необходимого существования.]




Необходимое существование

Для того, чтобы проверить обладает ли объект свойством необходимого существования, нужно:

1. Выделить (сформулировать, понять, определить) его сущность, и
2. Убедиться, что объект с такой сущностью существует во всех возможных мирах, то есть что отрицание его существования приводит к противоречию.

Сложным здесь является пункт первый. Чтобы немного освоиться на новой местности:

Каждый ли объект обладает сущностью? Скорее всего да. Должен ли при этом существовать сам объект? Нет. Можно ли указать сущность любого объекта? Это более тонкий вопрос. Может ли объект существовать, но не быть «необходимо существующим»? Разумеется, сколько угодно. Есть ли примеры необходимо существующих объектов — да.

Объект: мяч (вообще). Что такое сущность мяча? Можно попытаться сказать, что сущность мяча в том, что это приблизительно шарообразной формы объект, который можно использовать для игры. Существует ли мяч необходимо? Нет. Можно вообразить себе миры, где плотность атмосферы или сила тяготения таковы, что игр с мячом просто не придумали. Могут ли у конкретного мяча быть другие, «не существенные» свойства? Разумеется, любое случайное свойство — цвет, материал, наличие царапины, полученной, когда я им выбил соседское окно, и вообще вся его индивидуальная история. Могут ли какие-то случайные свойства рассматриваться как существенные в каких-то ситуациях? Да! Элементом сущности конкретного мяча может быть например то, что именно им была сыграна одна из игр чемпионата мира.

Объект: целое (или вещественное, или комплексное) число (или любой другой математический объект). Существует ли оно необходимо — да. В любом возможном мире, в том числе и в нашем, есть числа и все математические объекты, в том числе и те, которые нами еще не открыты. Таковыми были, скажем, римановы многообразия до рождения Римана или множества Мандельброта — до того, как Мандельброт опубликовал свою первую работу.

Объект: Евгений Онегин. Существует ли он? Нет. Обладает ли он сущностью — несомненно, о чем и писано множество школьных сочинений. Экземплифицирована ли его сущность в нашем мире? Вполне возможно! Есть множество примеров того, что литературные герои писались с реальных прототипов. А в любом другом? Отнюдь! Кстати, кому интересно, можно убедиться, что в нашем мире существует (экземплифицировано) сколько угодно объектов, сущность которых определяется через сущности несуществующих объектов. Пример — портрет Евгения Онегина в книге на полке.

Является ли свойство необходимого существования предикатом (вспоминаем Канта)? Да, и оно высказывает суждение об объекте. Является ли оно позитивным свойством? Разумеется! Должен ли, значит, обладать этим свойством Бог по Гёделю? Да, это следует из определения Гёделя.

Объект: Бог в смысле Гёделевского определения. Это то, что обладает всеми позитивными качествами. Может ли Бог обладать непозитивным качеством? Нет, поскольку согласно третьей аксиоме, если каждое непозитивное качество является отрицанием позитивного. Может ли он обладать качеством, которое не является ни позитивным, ни непозитивным? Видимо, нет. Бог не может быть «красным» поскольку тогда он «не зеленый», а свойства быть красными или зеленым абсолютно равнозначны. Бог не может обладать положительным электрическим зарядом, поскольку это ничем не лучше и не хуже, чем обладать отрицательным. Эти свойства не являются ни позитивными, ни непозитивными. Они случайны. Объект «элементарная частица» может быть заряженной положительно, отрицательно, или иметь нулевой заряд. Часть ее сущности — обладание самим качеством «электрического заряда». Какой именно заряд экземплифицирован в рассматриваемой нами частице — дело случая, смотря какую частицу мы изучаем, скажем, электрон или позитрон. Другой пример — пресловутый корпускулярно-волновой дуализм квантовой механики. Обладает ли электрон качествами частицы? Да, в некоторых ситуациях. Обладает ли он свойствами волны? Да, в некоторых ситуациях! Является ли любое из этих качеств позитивным? Разумеется, нет! Какое свойство является тут позитивным? Это самое свойство «корпускулярно-волнового дуализма», а именно, свойство обуславливающее возможность проявлять как те, так и другие качества.Вот теперь уже становится понятным, что божественность предопределяет все качества Бога, то есть является его сущностью.

И наконец, последний шаг доказательства Гёделя:
Нетрудно видеть, что для любого позитивного качества возможно существование объекта, который этим качеством обладает(φ) → ◊ ∃ x φ(x)Действительно, если бы такой объект был бы невозможен, то свойство φ подразумевало бы любые другие, а значит не могло бы быть позитивным. Иными словами, любое позитивное качество экземплифицировано в объекте в каком-то из возможных миров. Как мы уже сказали, необходимое существование является позитивным качеством (это аксиома А5). Значит, в каком-то возможном мире существет объект, обладающий качеством необходимого существования. Значит, он существует и во всех мирах. В том числе и в нашем.

Источник - swpanurg.livejournal.com .